সূচক কাকে বলে? সূত্র, নিয়ম ও বোর্ড প্রশ্নের সমাধান (SSC গণিত)

SSC
প্রকাশিত: ৩১ জুলাই, ২০২৬· হালনাগাদ: ১৯ আগস্ট, ২০২৬

এই নোটটিতে সূচকের সকল সূত্র এবং এসএসসি পরীক্ষায় বিগত বছরগুলোতে আসা এবং আগামীতে আসার সম্ভাবনাময় সকল ধরনের সমস্যার সমাধান পদ্ধতি দেয়া হয়েছে। তাছাড়াও প্রতিটি সমাধানকৃত সমস্যার পরে অনুশীলনযোগ্য একই ধরনের সমস্যাগুলো লিপিবদ্ধ করা হয়েছে।

১. সূচকের ধারণাঃ

সূচক মূলত একটি গাণিতিক সংক্ষেপন পদ্ধতি। কোনো সংখ্যাকে বারবার নিজের সাথে গুণ করার প্রক্রিয়াকে সংক্ষেপে লেখার জন্য সূচক  (ইংরেজিতে exponent বা index)ব্যবহার করা হয়। বীজগাণিতিক রাশির সরলীকরণ, বৈজ্ঞানিক সংকেত (scientific notation) কিংবা চক্রবৃদ্ধি মুনাফার (compound interest) মতো গুরুত্বপূর্ণ বিষয়গুলো সূচকের মৌলিক ধারণা ছাড়া সম্পূর্ণ অসম্ভব।তাই SSC ও HSC উভয় পরীক্ষাতেই সূচক থেকে নিয়মিত প্রশ্ন আসে।

মনে করি, a একটি বাস্তব সংখ্যা। তাহলে,
a × a = a2
a × a × a = a3
a × a × a × a = a4

অর্থাৎ a2 হচ্ছে 2টি a এর গুণফল, a3 হচ্ছে 3টি a এর গুণফল, এবং a4 হচ্ছে 4টি a এর গুণফল। অনুরূপভাবে, আমরা যদি n সংখ্যক a গুণন করি তাহলে পাবো, an। এই আলোচনায় উল্লেখিত a গুলো হলো ভিত্তি, যাকে ইংরেজিতে base বলে। আর 2, 3, 4, এবং n হলো সূচক বা ঘাত।

উপরোক্ত আলোচনায় আমরা শুধু ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সূচক দেখিয়েছি। কিন্তু সূচক বা ঘাত শুধুমাত্র ধনাত্মক সংখ্যার মধ্যে সীমাবদ্ধ নয়। সূচক ঋনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, ধনাত্মক ভগ্নাংশ বা ঋনাত্মক ভগ্নাংশ যেকোনোটিই হতে পারে। এমনকি সূচক শূন্য (0) হলেও এর একটি নির্দিষ্ট মান থাকে — এই বিশেষ ক্ষেত্রগুলো নিয়ে বিস্তারিত আলোচনা করা হবে পরবর্তী অংশে।

💡 ভুল ধারণা: অনেক শিক্ষার্থীর ধারণা, সূচক ঋণাত্মক বা ভগ্নাংশ হলে তা "বাস্তব সংখ্যা নয়" বা হিসাব করা সম্ভব নয়। বাস্তবে a-n, a1/n — এদের প্রত্যেকটিরই সুনির্দিষ্ট সংজ্ঞা ও মান আছে, যা আমরা পরের অংশে দেখব।

২. সূচকের সূত্রাবলি

২.১ সূচকের গুণনের সূত্রঃ

যদি সূচক প্রক্রিয়ায় লিখিত 23×22{2^3 \times 2^2} রাশিটিকে সরল করতে দেয়া হয়, তাহলে আমরা সাধারণ নিয়মে লিখব (2×2×2)×(2×2)=25{(2 \times 2 \times 2) \times (2 \times 2)} = 2^5। কিন্তু 2100×2992^{100} \times 2^{99} এরূপ বড় ঘাতবিশিষ্ট কোনো রাশিকে সরল করতে দেয়া হলে যদি আমরা অনুরূপভাবে লিখি তাহলে বিশাল জায়গা দখল করবে। তাই আমরা সূচকের গুণনের ক্ষেত্রে নিচের সূত্রটি ব্যবহার করবো, যেখানে a≠0a \neq 0।

am×an=am+n{a^m \times a^n} = a^{m+n}
💡 মনে রাখতে হবে: am×bn≠am+n{a^m \times b^n} \neq a^{m+n} অর্থাৎ সূত্রটি ভিন্ন ভিত্তির (base) ক্ষেত্রে প্রযোজ্য নয়। বাস্তবে এই সূত্র শুধুমাত্র তখনই ব্যবহার করা যাবে যখন উভয় রাশির ভিত্তি একই হয়। ভিত্তি ভিন্ন হলে আগে ভিত্তি একই করতে হবে অথবা অন্য পদ্ধতিতে সরল করতে হবে।

২.২ সূচকের ভাগের সূত্রঃ

যদি সূচক প্রক্রিয়ায় লিখিত   2322{2^3 \over 2^2} রাশিটিকে সরল করতে দেয়া হয়, তাহলে আমরা সাধারণ নিয়মে লিখব 2×2×22×2=2{2 \times 2 \times 2 \over 2 \times 2} = 2। এখানে ঘাত এর মান কম হওয়ায় প্রক্রিয়াটি কম সময়ে দেখানো গেল। কিন্তু ঘাতের মান যদি অনেক বড় হয় তাহলে আমাদেরকে অনেক লিখতে হতো, যা সময় সাপেক্ষ এবং ভুল প্রবণ। তাই আমরা সূত্রটি ব্যবহার করবো, যেখানে a≠0a \neq 0।

aman=am−n{a^m \over a^n} = a^{m-n}

লক্ষণীয় যে, m এবং n এর মানের উপর ভিত্তি করে ফলাফল ভিন্ন রূপ নিতে পারে — m > n হলে ঘাত ধনাত্মক থাকে, m = n হলে ফলাফল হয় a0a^0, আর m < n হলে ঘাত ঋণাত্মক হয়ে যায়। এই বিশেষ ক্ষেত্রগুলো নিয়ে বিস্তারিত আলোচনা পরবর্তী অংশে করা হবে।

💡 মনে রাখতে হবে: ambn≠am−n{a^m \over b^n} \neq a^{m-n} অর্থাৎ সূত্রটি ভিন্ন ভিত্তির (base) ক্ষেত্রে প্রযোজ্য নয়। দুইটি ভিত্তির বদলে একটি ভিত্তি লিখে লবের ঘাত থেকে হরের ঘাত কেবলমাত্র তখনই বিয়োগ করা যাবে যখন ভিত্তিদ্বয় একই হবে।

অনুরূপভাবে সঠিক ক্ষেত্রে আমাদেরকে নিচের সূত্রগুলো ব্যবহার করতে হবে।

২.৩ সূচকের গুণফলের ঘাত

(ab)n=an×bn(ab)^n=a^n \times b^n

২.৪ সূচকের ভাগফলের ঘাত

(ab)n=anbn({a \over {b}})^n = {a^n \over {b^n}}

২.৫ সূচকের ঘাতের ঘাত

(am)n=amn(a^m)^n=a^{mn}

৩. এসএসসি সূচক পরীক্ষা প্রস্তুতি

এসএসসি পরীক্ষায় ভালো ফলাফল অর্জনের জন্যে নিচে দেওয়া ৩ ধরনের প্রশ্নের সমাধান করতে পারা অতি জরুরি।

প্রশ্নের ধরন নং ১

সমাধান কর: (3)x+1=(33)2x−1(\sqrt{3})^{x+1} = (\sqrt[3]{3})^{2x-1} 

সমাধান প্রক্রিয়া

ধাপ ১: ঘাত ও করণীর নিয়ম ব্যবহার করে বর্গমূল এবং ঘনমূলকে ভগ্নাংশ সূচকে রূপান্তর করতে হবে (3=312 এবং 33=313)\left( \sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}} \text{ এবং } \sqrt[3]{3} = 3^{\frac{1}{3}} \right):

(312)x+1=(313)2x−1(3^{\frac{1}{2}})^{x+1} = (3^{\frac{1}{3}})^{2x-1}

ধাপ ২: সূচকের ঘাতের ঘাত সূত্র (am)n=am⋅n(a^m)^n = a^{m \cdot n} প্রয়োগ করে পাই:

312(x+1)=313(2x−1)3^{\frac{1}{2}(x+1)} = 3^{\frac{1}{3}(2x-1)}

3x+12=32x−133^{\frac{x+1}{2}} = 3^{\frac{2x-1}{3}}

ধাপ ৩: যেহেতু উভয় পক্ষের ভিত্তি একই (3>03 > 0 এবং 3≠13 \neq 1), তাই আমরা সূচকদ্বয় সমান লিখতে পারি:

x+12=2x−13\frac{x+1}{2} = \frac{2x-1}{3}

ধাপ ৪: আড়াআড়ি গুণ (cross-multiplication) করে সমীকরণটি সমাধান করতে পারি:

3(x+1)=2(2x−1)3(x+1) = 2(2x-1)

3x+3=4x−23x + 3 = 4x - 2

3+2=4x−3x3 + 2 = 4x - 3x

x=5x = 5

নির্ণেয় সমাধান: x=5x = 5

নিজে নিজে সমাধানের চেষ্টা কর

  1. সমাধান কর: (7)5x−1=(75)2x−3(\sqrt7)^{5x-1} = (\sqrt[5]{7})^{2x-3} উত্তরঃ −121{-1 \over {21}} কুমিল্লা বোর্ড-২০২৩
  2. Q=83,Y=8,Z=273,P=83Q=\sqrt[3]{8}, Y=8, Z=\sqrt[3]{27}, P=\frac{8}{3} এবং Q12Z16×(YP)16=(2Y)x−2\frac{Q^{12}}{Z^{16}} \times (\frac{Y}{P})^16 = (2Y)^{x-2} হলে, x এর মান নির্ণয় কর। উত্তরঃ x=5x = 5 বরিশাল বোর্ড-২০২৪  

প্রশ্নের ধরন নং ২

সরল কর: 22p+1⋅32p+q⋅5p+q⋅6p3p−2⋅62p+2⋅10p⋅15q2^{2p+1} \cdot 3^{2p+q} \cdot 5^{p+q} \cdot 6^p \over 3^{p-2} \cdot 6^{2p+2} \cdot 10^p \cdot 15^q

সমাধান প্রক্রিয়া

ধাপ ১: যৌগিক সংখ্যাগুলোর (6,10,156, 10, 15) মৌলিক উৎপাদক বের করে তাদের ভিত্তিগুলোকে মৌলিক সংখ্যায় (2,3,52, 3, 5) রূপান্তর করি।

আমরা জানি, 6=2⋅36 = 2 \cdot 3, 10=2⋅510 = 2 \cdot 5 এবং 15=3⋅515 = 3 \cdot 5।

প্রদত্ত রাশি:

=22p+1⋅32p+q⋅5p+q⋅(2⋅3)p3p−2⋅(2⋅3)2p+2⋅(2⋅5)p⋅(3⋅5)q= \frac{2^{2p+1} \cdot 3^{2p+q} \cdot 5^{p+q} \cdot (2 \cdot 3)^p}{3^{p-2} \cdot (2 \cdot 3)^{2p+2} \cdot (2 \cdot 5)^p \cdot (3 \cdot 5)^q}

ধাপ ২: সূচকের গুণফলের ঘাত সূত্র (ab)n=an⋅bn(ab)^n = a^n \cdot b^n প্রয়োগ করে পাই:

=22p+1⋅32p+q⋅5p+q⋅2p⋅3p3p−2⋅22p+2⋅32p+2⋅2p⋅5p⋅3q⋅5q= \frac{2^{2p+1} \cdot 3^{2p+q} \cdot 5^{p+q} \cdot 2^p \cdot 3^p}{3^{p-2} \cdot 2^{2p+2} \cdot 3^{2p+2} \cdot 2^p \cdot 5^p \cdot 3^q \cdot 5^q}

ধাপ ৩: লব এবং হরের একই ভিত্তি বিশিষ্ট সংখ্যাগুলোর ক্ষেত্রে সূচকের গুণনের সূত্র am⋅an=am+na^m \cdot a^n = a^{m+n} প্রয়োগ করি:

লবের অংশ:

ভিত্তি 22 এর সূচক: (2p+1)+p=3p+1(2p+1) + p = 3p+1

ভিত্তি 33 এর সূচক: (2p+q)+p=3p+q(2p+q) + p = 3p+q

ভিত্তি 55 এর সূচক: p+qp+q

অতএব, লব =23p+1⋅33p+q⋅5p+q= 2^{3p+1} \cdot 3^{3p+q} \cdot 5^{p+q}

হরের অংশ:

ভিত্তি 22 এর সূচক: (2p+2)+p=3p+2(2p+2) + p = 3p+2

ভিত্তি 33 এর সূচক: (p−2)+(2p+2)+q=3p+q(p-2) + (2p+2) + q = 3p+q

ভিত্তি 55 এর সূচক: p+qp+q

অতএব, হর =23p+2⋅33p+q⋅5p+q= 2^{3p+2} \cdot 3^{3p+q} \cdot 5^{p+q}

ধাপ ৪: মানগুলো বসানোর পর সূচকের ভাগের সূত্র aman=am−n\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} প্রয়োগ করি:

=23p+1⋅33p+q⋅5p+q23p+2⋅33p+q⋅5p+q= \frac{2^{3p+1} \cdot 3^{3p+q} \cdot 5^{p+q}}{2^{3p+2} \cdot 3^{3p+q} \cdot 5^{p+q}}

=2(3p+1)−(3p+2)⋅3(3p+q)−(3p+q)⋅5(p+q)−(p+q)= 2^{(3p+1) - (3p+2)} \cdot 3^{(3p+q) - (3p+q)} \cdot 5^{(p+q) - (p+q)}

=23p+1−3p−2⋅33p+q−3p−q⋅5p+q−p−q= 2^{3p+1 - 3p - 2} \cdot 3^{3p+q - 3p - q} \cdot 5^{p+q - p - q}

=2−1⋅30⋅50= 2^{-1} \cdot 3^0 \cdot 5^0

ধাপ ৫: আমরা জানি, যেকোনো সংখ্যার উপর ঘাত বা পাওয়ার 00 হলে তার মান 11 হয় এবং a−1=1aa^{-1} = \frac{1}{a}:

=12⋅1⋅1=12= \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}

নির্ণেয় সরলফল: 12\frac{1}{2}

নিজে নিজে সমাধানের চেষ্টা কর

  1. A = 2, B = 3, C = 5 এবং D = 7 হলে, (A)2x+1.(B)2x+y.(C)x+y.(AB)x(B)x−2.(AB)2x+2.(AC)x.(BC)y(A)^{2x+1}.(B)^{2x+y}.(C)^{x+y}.(AB)^x \over (B)^{x-2}.(AB)^{2x+2}.(AC)^x.(BC)^y এর মান নির্ণয় কর। উত্তরঃ 12{1 \over 2} কুমিল্লা বোর্ড ২০২৩ 
  2. M = 5x+1 এবং N = 5x-1 হলে, MNx÷M2Nx+1{M \over {N^x}} \div {M^2 \over {N^{x+1}}} এর মান নির্ণয় কর। উত্তরঃ 125{1 \over 25} ময়মনসিংহ বোর্ড-২০২৩ 

প্রশ্নের ধরন নং ৩

প্রমাণ কর যে, 4n−12n−1=2n+1{{4^n-1} \over {2^n-1}} =2^n+1 

সমাধান প্রক্রিয়া

ধাপ ১: লবের সংখ্যাটিকে সূচকের নিয়মে ভেঙে উৎপাদকের রূপ দেওয়াই হলো প্রথম কাজ। আমরা জানি, 4n=(22)n=(2n)24^n = (2^2)^n = (2^n)^2 এবং 1=121 = 1^2।

প্রদত্ত রাশির (বামপক্ষ):

=4n−12n−1= \frac{4^n - 1}{2^n - 1}

=(2n)2−122n−1= \frac{(2^n)^2 - 1^2}{2^n - 1}

ধাপ ২: লবের ক্ষেত্রে বীজগণিতের বর্গের সূত্র a2−b2=(a+b)(a−b)a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) প্রয়োগ করে পাই:

=(2n+1)(2n−1)2n−1= \frac{(2^n + 1)(2^n - 1)}{2^n - 1}

ধাপ ৩: লব ও হর থেকে সাধারণ উৎপাদক (2n−1)(2^n - 1) বাদ বা কাটাকাটি করি:

=2n+1= 2^n + 1

অতএব, বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

নিজে নিজে চেষ্টা করো:

  1. দেখাও যে, 3n−1(3)n+1=(3)n−1{{3^n-1} \over {(\sqrt{3})^n+1}} = (\sqrt{3})^n-1 যশোর বোর্ড-২০২২ 

📘 Higher Mathematics