ভেক্টরের ক্রস গুণন: সংজ্ঞা, সূত্র ও এইচএসসি বোর্ড প্রশ্ন সমাধান

· Physics
প্রকাশিত: ১২ আগস্ট, ২০২৬

এই নোটটিতে ভেক্টরের ক্রস গুণন সম্পর্কিত বিষয়াদি স্ববিস্তারে বর্ণনা করা হয়েছে। এইচএসসি পরীক্ষায় আগত প্রশ্নের সমাধান দেখানো হয়েছে। এইচএসসি পরীক্ষায় সাধারণত একাধিক টপিকের সমন্বয়ে প্রশ্ন হয়। তাই, এই নোটটিতে হুবহু সম্পূর্ণ প্রশ্ন উপস্থাপন না করে, কিছুটা পরিবর্তন করে অথবা প্রশ্নের অংশবিশেষ নেয়া হয়েছে, যাতে করে আলোচ্য টপিক 'ভেক্টরের ক্রস গুণন' এর ভিতরেই থাকা সম্ভব হয়।

📖দুটি ভেক্টর রাশির গুণফল হিসেবে একটি ভেক্টর রাশি পাওয়া গেলে তাকে ভেক্টরের ক্রস গুণন বলা হয়।

উপাংশে বিভাজিত দুটি ভেক্টরের ক্রস গুণফল নির্ণায়কের সাহায্যে লিখলে নিম্নরূপ হয়।

A⃗×B⃗=∣i^j^k^AxAyAzBxByBz∣\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix}

📌দুটি ভেক্টরের ক্রস গুণন করে যেই মান পাওয়া যায়, তা ঐ ভেক্টরদ্বয় দ্বারা গঠিত সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্দেশ করে। আর এই ক্রস গুণনের মানের অর্ধেক ভেক্টরদ্বয় দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্দেশ করে।

ভেক্টরের ক্রস গুণনের বৈশিষ্ট্য

পরস্পর সমান্তরাল দুটি ভেক্টরের ক্রস গুণন শূন্য হয়

A ও B যদি এমন দুটি ভেক্টর হয় যাদের মান শূন্য নয়, তাহলে ভেক্টরদ্বয় পরস্পর ০ ডিগ্রি বা ১৮০ ডিগ্রি কোণে অবস্থান করলে অর্থাৎ সমান্তরাল হলে, তাদের ক্রস গুণন করে শূন্য মান পাওয়া যাবে।

পরীক্ষায় যদি দুটি ভেক্টর দেয়া থাকে এবং প্রশ্ন করা হয়, ভেক্টরদ্বয় সমান কিনা? তাহলে ভেক্টরদ্বয়ের ক্রস গুণন করে মান বের করতে হবে। মান শূন্য হলে ভেক্টরদ্বয় সমান্তরাল বলে বিবেচিত হবে।

ভেক্টরের ক্রস গুণন বিনিময় বিধি মেনে চলে না

💡ভুল করা যাবে না: A⃗×B⃗≠B⃗×A⃗\vec{A}\times\vec{B}\neq\vec{B}\times\vec{A} সঠিকটি হবে A⃗×B⃗=−B⃗×A⃗\vec{A}\times\vec{B}=-\vec{B}\times\vec{A} কারণ, এদের মান সমান থাকলেও দিক পরিবর্তিত হয়ে যায়।

একক ভেক্টরের ক্রস গুণন

i^×j^=k^\hat{i}\times\hat{j}=\hat{k}

j^×k^=i^\hat{j}\times\hat{k}=\hat{i}

k^×i^=j^\hat{k}\times\hat{i}=\hat{j}

j^×i^=−k^\hat{j}\times\hat{i}=-\hat{k}

k^×j^=−i^\hat{k}\times\hat{j}=-\hat{i}

i^×k^=−j^\hat{i}\times\hat{k}=-\hat{j}

ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় i^,j^,k^\hat{i}, \hat{j}, \hat{k} কে যথাক্রমে X, Y, Z অক্ষ বরাবর কল্পনা করা হয়। এই অবস্থানের উপর ভিত্তি করেই ফলাফল একক ভেক্টর ধনাত্মক বা ঋণাত্মক হয়। ক্রস গুণনকৃত একক ভেক্টরের প্রথমটি থেকে তুলনামূলক কম কোন পরিমাণ করে দ্বিতীয়টিতে যেতে যদি ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘুরতে হয়, তবে ফলাফল ধনাত্মক হয়। আর যদি ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘুরতে হয়, তবে ফলাফল ঋণাত্মক হয়।

আবার, i^×i^=j^×j^=k^×k^=0\hat{i}\times\hat{i}=\hat{j}\times\hat{j}=\hat{k}\times\hat{k}=0 । কারণ সমান্তরাল (একই) ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ শূন্য, আর sin⁡0∘=0\sin 0^\circ = 0

এইচএসসি পরীক্ষায় যেমন প্রশ্ন আসে

OA⃗=i^−2j^−k^\vec{OA} = \hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k} এবং OB⃗=2i^−3j^+2k^\vec{OB} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k} হলে, △OAB\triangle OAB এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। ঢাকা বোর্ড-২০১৭ 

সমাধান:

OA⃗×OB⃗=∣i^j^k^1−2−12−32∣=i^(−4−3)−j^(2+2)+k^(−3+4)=−7i^−4j^+k^\vec{OA} \times \vec{OB} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & -1 \\ 2 & -3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4 - 3) - \hat{j}(2 + 2) + \hat{k}(-3 + 4) = -7\hat{i} - 4\hat{j} + \hat{k}

∣OA⃗×OB⃗∣=(−7)2+(−4)2+(1)2=66|\vec{OA} \times \vec{OB}| = \sqrt{(-7)^2 + (-4)^2 + (1)^2} = \sqrt{66} \\

∴ ΔAOB এর ক্ষেত্রফল = 12×∣OA⃗×OB⃗∣\frac{1}{2} \times |\vec{OA} \times \vec{OB}|

= 12×66\frac{1}{2} \times \sqrt{66} বর্গ একক = 4.062 বর্গ একক 

r⃗=i^−2j^+bk^\vec{r} = \hat{i} - 2\hat{j} + b\hat{k} এবং v⃗=2i^−4j^+2k^\vec{v} = 2\hat{i} - 4\hat{j} + 2\hat{k} পরস্পর সমান্তরাল হলে b এর মান কত? দিনাজপুর বোর্ড-২০১৬

সমাধান:

r⃗ ও v⃗\vec{r}\ \text{ও}\ \vec{v} পরস্পর সমান্তরাল হলে, r⃗×v⃗=0\vec{r} \times \vec{v} = 0

∴∣i^j^k^1−2b2−42∣=0(−4+4b)i^+(2b−2)j^+(−4+4)k^=0(−4+4b)i^+(2b−2)j^=0\begin{aligned} &\therefore \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & b \\ 2 & -4 & 2 \end{vmatrix} = 0 \\ &(-4 + 4b)\hat{i} + (2b - 2)\hat{j} + (-4 + 4)\hat{k} = 0 \\ &(-4 + 4b)\hat{i} + (2b - 2)\hat{j} = 0 \end{aligned}

এখন i⃗ ও j⃗\vec{i}\ \text{ও}\ \vec{j} এর সহগ সমীকৃত করে পাই,

- 4 + 4b = 0 বা, b = 1

এবং 2b - 2 = 0 বা, b = 1

সুতরাং b এর মান 1