ভেক্টরের ক্রস গুণন: সংজ্ঞা, সূত্র ও এইচএসসি বোর্ড প্রশ্ন সমাধান

এই নোটটিতে ভেক্টরের ক্রস গুণন সম্পর্কিত বিষয়াদি স্ববিস্তারে বর্ণনা করা হয়েছে। এইচএসসি পরীক্ষায় আগত প্রশ্নের সমাধান দেখানো হয়েছে। এইচএসসি পরীক্ষায় সাধারণত একাধিক টপিকের সমন্বয়ে প্রশ্ন হয়। তাই, এই নোটটিতে হুবহু সম্পূর্ণ প্রশ্ন উপস্থাপন না করে, কিছুটা পরিবর্তন করে অথবা প্রশ্নের অংশবিশেষ নেয়া হয়েছে, যাতে করে আলোচ্য টপিক 'ভেক্টরের ক্রস গুণন' এর ভিতরেই থাকা সম্ভব হয়।

মনে করি, $\vec{A}$ এবং $\vec{B}$ ত্রিমাত্রিক স্থানাংক ব্যবস্থায় অবস্থিত দুইটি ভেক্টর। তাহলে ভেক্টরদ্বয়ের উপাংশে বিভাজিত রূপ হবে, $\vec{A} = A_x\hat{i} + A_y\hat{j} + A_z\hat{k}$ এবং $\vec{B} = B_x\hat{i} + B_y\hat{j} + B_z\hat{k}$ । ভেক্টর দুটির ক্রস গুণফল নির্ণায়কের সাহায্যে লিখলে নিম্নরূপ হবে।

$\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix}$

📌দুটি ভেক্টরের ক্রস গুণন করে যেই মান পাওয়া যায়, তা ঐ ভেক্টরদ্বয় দ্বারা গঠিত সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্দেশ করে। আর এই ক্রস গুণনের মানের অর্ধেক ভেক্টরদ্বয় দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্দেশ করে।

ভেক্টরের ক্রস গুণনের বৈশিষ্ট্য

পরস্পর সমান্তরাল দুটি ভেক্টরের ক্রস গুণন শূন্য হয়

A ও B যদি এমন দুটি ভেক্টর হয় যাদের মান শূন্য নয়, তাহলে ভেক্টরদ্বয় পরস্পর ০ ডিগ্রি বা ১৮০ ডিগ্রি কোণে অবস্থান করলে অর্থাৎ সমান্তরাল হলে, তাদের ক্রস গুণন করে শূন্য মান পাওয়া যাবে।

পরীক্ষায় যদি দুটি ভেক্টর দেয়া থাকে এবং প্রশ্ন করা হয়, ভেক্টরদ্বয় সমান কিনা? তাহলে ভেক্টরদ্বয়ের ক্রস গুণন করে মান বের করতে হবে। মান শূন্য হলে ভেক্টরদ্বয় সমান্তরাল বলে বিবেচিত হবে।

ভেক্টরের ক্রস গুণন বিনিময় বিধি মেনে চলে না

💡ভুল করা যাবে না: $\vec{A}\times\vec{B}\neq\vec{B}\times\vec{A}$ সঠিকটি হবে $\vec{A}\times\vec{B}=-\vec{B}\times\vec{A}$ কারণ, এদের মান সমান থাকলেও দিক পরিবর্তিত হয়ে যায়।

একক ভেক্টরের ক্রস গুণন

ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ কে যথাক্রমে X, Y, Z অক্ষ বরাবর কল্পনা করা হয়। এই অবস্থানের উপর ভিত্তি করেই ফলাফল একক ভেক্টর ধনাত্মক বা ঋণাত্মক হয়। ক্রস গুণনকৃত একক ভেক্টরের প্রথমটি থেকে তুলনামূলক কম কোন পরিমাণ করে দ্বিতীয়টিতে যেতে যদি ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘুরতে হয়, তবে ফলাফল ধনাত্মক হয়। আর যদি ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘুরতে হয়, তবে ফলাফল ঋণাত্মক হয়।

আবার, $\hat{i}\times\hat{i}=\hat{j}\times\hat{j}=\hat{k}\times\hat{k}=0$ । কারণ সমান্তরাল (একই) ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ শূন্য, আর $\sin 0^\circ = 0$

এইচএসসি পরীক্ষায় যেমন প্রশ্ন আসে

তিনটি বিন্দু P(4, -2, 3), Q(-2, 4, 5) এবং R(-1, 2, -2) ত্রিমাত্রিক আয়তাকার স্থানাংক ব্যবস্থায় অবস্থান করছে। $\vec{PQ} \times \vec{QR}$ এর একক ভেক্টর বের করো। দিনাজপুর বোর্ড ২০২৫

সমাধান:

প্রথম ধাপে, প্রদত্ত বিন্দুগুলোর স্থানাংক থেকে PQ এবং QR ভেক্টরদ্বয় বের করে নিতে হবে। বিন্দুর স্থানাংক থেকে ভেক্টর বের করার নিয়ম হলো: শেষ বিন্দুর মান থেকে আদি বিন্দুর মান বিয়োগ করতে হবে।

PQ ভেক্টরের শেষ বিন্দু Q হতে আদি বিন্দু P বিয়োগ করে পাই,

$\begin{aligned} \vec{PQ} &= (-2 - 4)\hat{i} + (4 + 2)\hat{j} + (5 - 3)\hat{k} \\ &= -6\hat{i} + 6\hat{j} + 2\hat{k} \\ \end{aligned}$

QR ভেক্টরের শেষ বিন্দু R হতে আদি বিন্দু Q বিয়োগ করে পাই,

$\begin{aligned} \vec{QR} &= (-1 + 2)\hat{i} + (2 - 4)\hat{j} + (-2 - 5)\hat{k} \\ &= \hat{i} - 2\hat{j} - 7\hat{k} \\ \end{aligned}$

দ্বিতীয় ধাপে, PQ এবং QR ভেক্টরদ্বয়ের ক্রস প্রোডাক্ট বের করতে হবে। নির্ণায়ক পদ্ধতি ব্যবহার করে ক্রস প্রোডাক্ট বের করার জন্য নির্ণায়কের প্রথম সারিতে একক ভেক্টরগুলো বসাই, দ্বিতীয় সারিতে PQ ভেক্টরের সহগগুলো, এবং তৃতীয় সারিতে QR ভেক্টরের সহগগুলো বসাই।

$\begin{aligned} \vec{PQ} \times \vec{QR} &= \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -6 & 6 & 2 \\ 1 & -2 & -7 \end{vmatrix} \\ &= \hat{i}[\{6 \times (-7)\} - \{2 \times (-2)\}] - \hat{j}[\{(-6) \times (-7)\} - \{2 \times 1\}] \\ &\quad + \hat{k}[\{(-6) \times (-2)\} - \{6 \times 1\}] \\ &= -38\hat{i} - 40\hat{j} + 6\hat{k} \\ \end{aligned}$

তৃতীয় ধাপে, ক্রস প্রোডাক্টের মান বের করি।

$\therefore |\vec{PQ} \times \vec{QR}| = \sqrt{(-38)^2 + (-40)^2 + 6^2} = 2\sqrt{770}$

অবশেষে, চতুর্থ ধাপে, সূত্র ব্যবহার করে ক্রস প্রোডাক্টের একক ভেক্টর বের করি।

$\vec{PQ}\times\vec{QR}$ এর একক ভেক্টর$= \frac{\vec{PQ} \times \vec{QR}}{|\vec{PQ} \times \vec{QR}|}$$= \frac{-38\hat{i} - 40\hat{j} + 6\hat{k}}{2\sqrt{770}}$

$\vec{OA} = \hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}$ এবং $\vec{OB} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$ হলে, $\triangle OAB$ এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। ঢাকা বোর্ড-২০১৭ 

সমাধান:

$\vec{OA} \times \vec{OB} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & -1 \\ 2 & -3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4 - 3) - \hat{j}(2 + 2) + \hat{k}(-3 + 4) = -7\hat{i} - 4\hat{j} + \hat{k}$

$|\vec{OA} \times \vec{OB}| = \sqrt{(-7)^2 + (-4)^2 + (1)^2} = \sqrt{66} \\$

∴ ΔAOB এর ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times |\vec{OA} \times \vec{OB}|$

= $\frac{1}{2} \times \sqrt{66}$ বর্গ একক = 4.062 বর্গ একক