আংশিক ভগ্নাংশ কাকে বলে? সংজ্ঞা, নিয়ম ও উদাহরণ (SSC, HSC ও BSC)

উদাহরণস্বরূপ, 

$\frac{5x - 7}{x^2 - 3x + 2} = \frac{3(x - 1) + 2(x - 2)}{(x - 2)(x - 1)} = \frac{3}{x - 2} + \frac{2}{x - 1}$

এখানে  $\frac{5x - 7}{x^2 - 3x + 2}$মূল ভগ্নাংশ। যাকে $\frac{3}{x - 2}$ এবং $\frac{2}{x - 1}$ ভগ্নাংশ দুটির যোগফল হিসেবে লেখা হয়েছে। তাই  $\frac{3}{x - 2}$ এবং $\frac{2}{x - 1}$ ভগ্নাংশদ্বয়ের প্রত্যেকটি মূল ভগ্নাংশ $\frac{5x - 7}{x^2 - 3x + 2}$ এর আংশিক ভগ্নাংশ।

উপরোক্ত উদাহরণের হরকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করার পর (x - 2) এবং (x - 1) উৎপাদক দুটি পেয়েছি, যারা উভয়ই একঘাত বিশিষ্ট অর্থাৎ চলকের সর্বোচ্চ ঘাত বা পাওয়ার "1"। কিন্তু সবসময় এমন একঘাত বিশিষ্ট উৎপাদক থাকবে না!

হরের উৎপাদকের ভিন্নতার উপর নির্ভর করে এর আংশিক ভগ্নাংশের রূপও ভিন্ন ভিন্ন হবে। যেমন:

হরের উৎপাদক	আংশিক ভগ্নাংশ
x + 1	$\frac{A}{x+1}$
(x + 1)2	$\frac{A}{x+1} + \frac{B}{(x+1)^2}$
(x + 1)3	$\frac{A}{x+1} + \frac{B}{(x+1)^2} + \frac{C}{(x+1)^3}$
x2 + 1	$\frac{Ax+B}{x^2+1}$
(x2 + 1)2	$\frac{Ax+B}{x^2+1} + \frac{Cx+D}{(x^2+1)^2}$

আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করার সাধারন নিয়ম

ভগ্নাংশের লব ও হরকে তুলনা করে একে দুই ভাগে ভাগ করা যায় — প্রকৃত ভগ্নাংশ ও অপ্রকৃত ভগ্নাংশ। লবের সর্বোচ্চ ঘাত হরের সর্বোচ্চ ঘাত অপেক্ষা কম হলে তাকে প্রকৃত ভগ্নাংশ বলে; আর লবের সর্বোচ্চ ঘাত হরের সর্বোচ্চ ঘাতের সমান বা তার চেয়ে বেশি হলে তাকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশ বলে।

💡প্রদত্ত ভগ্নাংশটি কি প্রকৃত ভগ্নাংশ নাকি অপ্রকৃত ভগ্নাংশ তার উপর নির্ভর করে, আংশিক ভগ্নাংশ নির্ণয়ের ধাপে কিছুটা পরিবর্তন লক্ষণীয়।

প্রকৃত ভগ্নাংশের আংশিক ভগ্নাংশ নির্ণয়ের ধাপসমূহ:

    ধাপ-১: যদি প্রদত্ত ভগ্নাংশের হর বহুপদী হিসেবে দেওয়া থাকে, তাহলে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে নিতে হবে।

    ধাপ-২: হরের ধরনের উপর ভিত্তি করে উপরের টেবিলের মত করে প্রদত্ত ভগ্নাংশটির কাঙ্ক্ষিত রূপটি ধরে নিতে হবে এবং তাকে সমীকরণ নম্বর (1) দিয়ে চিহ্নিত করতে হবে।

    ধাপ-৩: প্রদত্ত ভগ্নাংশের হরের উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ দিয়ে সমীকরণ (1)  এর উভয় পক্ষকে গুণ করতে হবে। অতপর এর সরলকৃত রূপকে সমীকরণ (2) হিসেবে চিহ্নিত করতে হবে।

    ধাপ-৪: x এর পরিবর্তে উপযুক্ত মান বসিয়ে A, B, C ... ইত্যাদির সঠিক মান নির্ণয় করতে হবে।

    ধাপ-৫: সমীকরণ (1) এ A, B, C ... ইত্যাদির মান বসিয়ে শেষ করতে হবে।

 

উদাহরণ: $\frac{5x - 7}{(x - 1)(x - 2)}$কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করো।

ধরি, $\frac{5x - 7}{(x - 1)(x - 2)} \equiv \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2} \dots (1)$

(1) এর উভয়পক্ষকে (x - 1)(x - 2) দ্বারা গুণ করে পাই,

5x - 7 $\equiv$ A(x - 2) + B(x - 1) ... ... ... (2)

(2) এর উভয়পক্ষে x = 1 বসিয়ে পাই, 5 - 7 = A(1 - 2) + B(1 - 1)

বা, -2 = -A

$\therefore$  A = 2

(2) এর উভয়পক্ষে x = 2 বসিয়ে পাই, 10 - 7 = A(2 - 2) + B(2 - 1)

বা, 3 = B

$\therefore$ B = 3

A এবং B এর মান (1) এ বসিয়ে পাই,

$\frac{5x - 7}{(x - 1)(x - 2)} \equiv \frac{2}{x - 1} + \frac{3}{x - 2}$ ; প্রদত্ত ভগ্নাংশটি আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশিত হলো।

অপ্রকৃত ভগ্নাংশের আংশিক ভগ্নাংশ নির্ণয়ের ধাপসমূহ:

    ধাপ-১: অপ্রকৃত ভগ্নাংশ হতে পূর্ণ অংশ এবং একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ পৃথক করতে হবে। আর এটিকে সমীকরণ (1) হিসেবে চিহ্নিত করতে হবে।

📌 পূর্ণ অংশ ও প্রকৃত ভগ্নাংশ পৃথক করার একটি সহজ উপায় আছে। প্রথমে হর ঠিক রেখে লবের জায়গায় হরটিই বসাও এবং তার সাথে উপযুক্ত সংখ্যা বা চলক গুণ করো, যাতে গুণফলটি মূল লবের যতটা সম্ভব কাছাকাছি হয়। এরপর লক্ষ করো, এই গুণফল ও মূল লবের মধ্যে কোনো পদ কম বা বেশি থেকে যাচ্ছে কিনা — সেই পার্থক্যটুকু যোগ বা বিয়োগ করে দাও, যাতে মূল লব অপরিবর্তিত থাকে। যেই সংখ্যা বা চলক দিয়ে গুণ করেছিলে সেটিই হবে পূর্ণ অংশ, আর যা যোগ-বিয়োগ করেছ তা লব ধরে যে ভগ্নাংশটি পাওয়া যাবে সেটিই প্রকৃত ভগ্নাংশ।

    ধাপ-২: যদি প্রাপ্ত প্রকৃত ভগ্নাংশের হর বহুপদী হিসেবে থাকে, তাহলে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে নিতে হবে।

    ধাপ-৩: হরের ধরনের উপর ভিত্তি করে উপরের টেবিলের মত করে প্রকৃত ভগ্নাংশটির কাঙ্ক্ষিত রূপটি ধরে নিতে হবে এবং তাকে সমীকরণ নম্বর (2) দিয়ে চিহ্নিত করতে হবে।

    ধাপ-৪: প্রকৃত ভগ্নাংশের হরের উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ দিয়ে সমীকরণ (2)  এর উভয় পক্ষকে গুণ করতে হবে। অতপর এর সরলকৃত রূপকে সমীকরণ (3) হিসেবে চিহ্নিত করতে হবে।

    ধাপ-৫: x এর পরিবর্তে উপযুক্ত মান বসিয়ে A, B, C ... ইত্যাদির সঠিক মান নির্ণয় করতে হবে।

    ধাপ-৬: সমীকরণ (3) হতে প্রাপ্ত A, B, C ... এর মান সমীকরণ (2) এ বসিয়ে প্রকৃত ভগ্নাংশ অংশটির চূড়ান্ত রূপ পাওয়া যাবে। অতঃপর তা সমীকরণ (1) এর পূর্ণ অংশের সাথে যোগ করলেই মূল অপ্রকৃত ভগ্নাংশের আংশিক ভগ্নাংশ রূপ পাওয়া যাবে।

উদাহরণ: $\frac{3x^3}{x^3 - 64x}$কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর। ঢাকা বোর্ড-২০২৪

দেখা যাচ্ছে, লব এবং হরের মধ্যে x কমন আছে। তাই গাণিতিক সমাধানের সাধারণ ধাপ হিসেবে প্রথমেই ভগ্নাংশটির লব ও হরের কমন অংশ কেঁটে ছোট করে নেই।

$\frac{3x^3}{x^3 - 64x} = \frac{x\cdot3x^2}{x(x^2 - 64)} = \frac{\not{x}\cdot3x^2}{\not{x}(x^2 - 64)} = \frac{3x^2}{x^2 - 64}$

এবার পূর্ণ অংশ এবং প্রকৃত ভগ্নাংশ পৃথক করি।

$\frac{3x^2}{x^2 - 64} = \frac{3(x^2 - 64) + 192}{x^2 - 64} = 3 + \frac{192}{x^2 - 64} = 3 + \frac{192}{(x+8)(x-8)} \dots (1)$

ধরি, $\frac{192}{(x+8)(x-8)} = \frac{A}{x+8} + \frac{B}{x-8} \dots (2)$

(2) নং এর উভয়পক্ষকে (x + 8)(x - 8) দ্বারা গুণ করে পাই,

192 = A(x - 8) + B(x + 8) ... (3)

(3) নং এ x = -8 বসিয়ে পাই, A = -12

(3) নং এ x = 8 বসিয়ে পাই, B = 12

(2) নং এ A এবং B এর মান বসিয়ে পাই,

$\frac{192}{(x+8)(x-8)} = \frac{-12}{x+8} + \frac{12}{x-8}$

(1) নং হতে পাই,

$3 - \frac{12}{x+8} + \frac{12}{x-8}$; যা নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ।

উদাহরণ: $\frac{7x^2 - 2}{1 - 8x^3}$ কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর। ময়মনসিংহ বোর্ড-২০২৪

প্রথমে হর $1 - 8x^3$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি। এটি ঘনের বিয়োগফলের সূত্র $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ অনুযায়ী বিশ্লেষণযোগ্য, যেখানে $a = 1$ এবং $b = 2x$।

$1 - 8x^3 = 1^3 - (2x)^3 = (1 - 2x)(1 + 2x + 4x^2)$

💡 লক্ষ করো, $1 + 2x + 4x^2$ কে আর ভাঙা যাবে না। এর বৈষম্যক (discriminant) $= 2^2 - 4\cdot4\cdot1 = -12$, যা ঋণাত্মক। তাই এটি একটি অবিভাজ্য দ্বিঘাত উৎপাদক (irreducible quadratic factor), এবং টেবিল অনুযায়ী এর আংশিক ভগ্নাংশ হবে $\frac{Bx+C}{1+2x+4x^2}$ আকারে — শুধু ধ্রুবক নয়।

যেহেতু লবের ঘাত (2) হরের ঘাত (3) অপেক্ষা কম, তাই এটি একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ। ধরি,

$\frac{7x^2 - 2}{(1-2x)(1+2x+4x^2)} \equiv \frac{A}{1-2x} + \frac{Bx+C}{1+2x+4x^2} \dots (1)$

(1) এর উভয়পক্ষকে $(1-2x)(1+2x+4x^2)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$7x^2 - 2 \equiv A(1+2x+4x^2) + (Bx+C)(1-2x) \dots (2)$

 

(2) এর উভয়পক্ষে $x = \frac{1}{2}$ বসিয়ে পাই (যাতে দ্বিতীয় পদটি শূন্য হয়ে যায়),

$7\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 2 = A\left(1+1+1\right)$

বা, $\frac{7}{4} - 2 = 3A$

বা, $-\frac{1}{4} = 3A$

$\therefore$  $A = -\frac{1}{12}$

📌 এখন প্রশ্ন হলো, B এবং C এর মান বের করার জন্য কি একইভাবে x এর আরও মান বসাতে হবে? তাত্ত্বিকভাবে বসানো যেত, কিন্তু $1+2x+4x^2$ যেহেতু অভাজ্য (এর বাস্তব মূল নেই, যা আমরা আগেই বৈষম্যক থেকে দেখেছি), তাই এই উৎপাদককে শূন্য করে এমন কোনো সরল x এর মান নেই। এক্ষেত্রে x এর যেকোনো মান বসালে জটিল ও এলোমেলো ভগ্নাংশ নিয়ে কাজ করতে হতো এবং সমীকরণ সমাধান করা কঠিন হয়ে যেত। এই সমস্যা এড়াতেই আমরা সহগ তুলনা পদ্ধতি (coefficient comparison method) ব্যবহার করব — যেখানে x এর কোনো মান বসাতে হয় না, বরং সমীকরণের উভয়পক্ষে x এর একই ঘাতবিশিষ্ট পদগুলোর সহগ সরাসরি তুলনা করা হয়।

(2) নং সমীকরণের ডানপক্ষ বিস্তৃত করে x² এবং x⁰ (ধ্রুবক) পদের সহগ তুলনা করি।

$A(1+2x+4x^2) + (Bx+C)(1-2x) = (4A-2B)x^2 + (2A+B-2C)x + (A+C)$

x² পদের সহগ তুলনা করে পাই, $4A - 2B = 7$

A এর মান বসিয়ে, $4\left(-\frac{1}{12}\right) - 2B = 7 \Rightarrow -\frac{1}{3} - 2B = 7 \Rightarrow B = -\frac{11}{3}$

ধ্রুবক পদের সহগ তুলনা করে পাই, $A + C = -2$

A এর মান বসিয়ে, $-\frac{1}{12} + C = -2 \Rightarrow C = -\frac{23}{12}$

A, B এবং C এর মান (1) এ বসিয়ে পাই,

$\frac{7x^2 - 2}{1 - 8x^3} \equiv \frac{-\frac{1}{12}}{1-2x} + \frac{-\frac{11}{3}x - \frac{23}{12}}{1+2x+4x^2}$

বা, $\frac{7x^2 - 2}{1 - 8x^3} \equiv -\frac{1}{12(1-2x)} - \frac{44x + 23}{12(1+2x+4x^2)}$ ; প্রদত্ত ভগ্নাংশটি আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশিত হলো।