লিমিট নির্ণয়ের পদ্ধতি: ৭টি কৌশল, উদাহরণ ও বোর্ড প্রশ্ন

💡 লিমিট বিদ্যমান থাকার শর্ত: কোনো বিন্দু a তে f(x) এর লিমিট তখনই বিদ্যমান থাকে যখন বামপার্শ্বিক ও ডানপার্শ্বিক লিমিট উভয়ই বিদ্যমান থাকে এবং তারা পরস্পর সমান হয়, অর্থাৎ $\lim_{x \to a^{-}} f(x) = \lim_{x \to a^{+}} f(x) = L$। দুইপাশের লিমিট ভিন্ন হলে (যেমন step function বা piecewise function-এর ক্ষেত্রে যা প্রায়ই ঘটে), সেই বিন্দুতে লিমিট বিদ্যমান থাকে না — যদিও ফাংশনের মান হয়তো সংজ্ঞায়িত থাকতে পারে।

১-১. বহুপদী রাশি হলে (উৎপাদকে বিভাজন):

লব ও হর উভয়ই বহুপদী হলে, উভয়কেই (x - a) দ্বারা উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে সাধারণ উৎপাদকটি বাতিল করতে হয়। উদাহরণ, $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + x - 6}{x^2 - 4}$ এর মান নির্ণয় কর।

লব (x² + x - 6) একটি বহুপদী, যাকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই: (x + 3)(x - 2)

হর (x² - 4) ও একটি বহুপদী, যাকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই: (x + 2)(x - 2)

$\begin{aligned} \lim_{x \to 2} \frac{x^2 + x - 6}{x^2 - 4} &= \lim_{x \to 2} \frac{(x+3)(x-2)}{(x+2)(x-2)} \\ &= \lim_{x \to 2} \frac{x+3}{x+2} = \frac{2+3}{2+2} = \frac{5}{4}\end{aligned}$

১-২. বর্গমূল (surd) থাকলে (যুগ্ম রাশি দ্বারা গুণ):

লব বা হরে বর্গমূল চিহ্ন থাকলে সরাসরি উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায় না। এক্ষেত্রে লব ও হর উভয়কে বর্গমূলযুক্ত রাশিটির যুগ্ম রাশি (conjugate) দ্বারা গুণ করলে বর্গমূলটি $a^2-b^2$ আকারে সরল হয়ে যায়, ফলে রাশিটি এমন একটি সরল আকারে পরিণত হয় যেখান থেকে হরের সাথে মিলে যাওয়া সাধারণ উৎপাদকটি সহজেই কেটে ফেলা যায় এবং সরাসরি মান বসিয়ে লিমিট নির্ণয় করা যায়। নিম্নোক্ত উদাহরণের সমাধানের মাধ্যমে এই কৌশলটির ব্যবহার দেখে নিই।

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 - x} - 1}{x}$এর মান নির্ণয় কর। কুমিল্লা বোর্ড-২০১৩ ঢাকা বোর্ড-২০০৮ সিলেট বোর্ড-২০০৬ চট্টগ্রাম বোর্ড-২০০৪ যশোর বোর্ড-২০০৩

এখানে লবের রাশিটি বর্গমূল চিহ্নযুক্ত। তাই আমরা লব এবং হর উভয়কে $\sqrt{1-x}-1$ এর যুগ্ম রাশি $\sqrt{1-x}+1$ দ্বারা গুণ করবো।

$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1-x}-1}{x} &= \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1-x}-1)(\sqrt{1-x}+1)}{x(\sqrt{1-x}+1)} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{1-x-1}{x(\sqrt{1-x}+1)} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{-x}{x(\sqrt{1-x}+1)} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{-1}{\sqrt{1-x}+1} = -\frac{1}{2} \end{aligned}$

১-৩. একাধিক পদে সাধারণ বর্গমূল উৎপাদক থাকলে (উৎপাদক বের করা):

এই ধরনের রাশিতে একাধিক বর্গমূল পদ থাকলেও তারা একে অপরের যুগ্ম রাশি (conjugate) নয় — বরং লব ও হরের প্রতিটি পদ থেকে একটি সাধারণ বর্গমূল উৎপাদক (যেমন $\sqrt{x-a}$) সরাসরি বের করে নেওয়া যায়। উৎপাদকটি বের করার পর অবশিষ্ট অংশে সরাসরি মান বসিয়ে লিমিট নির্ণয় করা যায় — এখানে যুগ্ম রাশি দ্বারা গুণ করার প্রয়োজন হয় না।

$\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{\sqrt{x^2-1}+\sqrt{x-1}}$ এর মান নির্ণয় কর। দিনাজপুর বোর্ড-২০১০

$\begin{aligned} \lim_{x \to 1} \frac{x-1}{\sqrt{x^2-1}+\sqrt{x-1}} &= \lim_{x \to 1} \frac{x-1}{\sqrt{(x-1)(x+1)}+\sqrt{x-1}} \\ &= \lim_{x \to 1} \frac{x-1}{\sqrt{x-1}\left(\sqrt{x+1}+1\right)} \\ &= \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x-1}\cdot\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-1}\left(\sqrt{x+1}+1\right)} \\ &= \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}+1} = \frac{0}{\sqrt{2}+1} = 0 \end{aligned}$

১-৪. ভগ্নাংশ ঘাত (fractional power) থাকলে (প্রতিস্থাপন):

$x^{\frac{m}{n}}$ আকারের ঘাত থাকলে $x = y^n$ এবং $a = b^n$ ধরে প্রতিস্থাপন করলে রাশিটি $\frac{y^p - b^p}{y - b}$ আকার ধারণ করে, যা সরাসরি উৎপাদকে বিভাজনযোগ্য এবং সূত্র $\lim_{y \to b}\frac{y^n-b^n}{y-b}=nb^{n-1}$ প্রয়োগ করা যায়। এভাবেই ঢাকা বোর্ড-২০০৯ এর উদাহরণে $x^{\frac{5}{2}}$ কে $y^5$ এ রূপান্তর করা হয়েছে।

$\lim_{x \to a} \frac{x^{\frac{5}{2}} - a^{\frac{5}{2}}}{\sqrt{x} - \sqrt{a}}$এর মান নির্ণয় কর। ঢাকা বোর্ড-২০০৯, ২০০৩

মনে করি, $\sqrt{x} = y$ এবং $\sqrt{a} = b$ । অতএব, যখন $x \rightarrow a$ তখন $y \rightarrow b$ ।

$\begin{aligned} \therefore \lim_{x \to a} \frac{x^{\frac{5}{2}} - a^{\frac{5}{2}}}{\sqrt{x} - \sqrt{a}} &= \lim_{y \to b} \frac{y^5 - b^5}{y - b} \\ &= \lim_{y \to b} \frac{(y - b)(y^4 + y^3b + y^2b^2 + yb^3 + b^4)}{(y - b)} \\ &= \lim_{y \to b} (y^4 + y^3b + y^2b^2 + yb^3 + b^4) \\ &= 5b^4 = 5(\sqrt{a})^4 = 5a^2 \end{aligned}$

 ২. $\frac{\infty}{\infty}$ আকারের লিমিট

২-১. বহুপদীর উৎপাদক হিসেবে থাকলে

x এর মান অসীমের দিকে গেলে (x → ∞) সরাসরি মান বসানো যায় না, কারণ লব ও হর উভয়ই অসীম হয়ে যায় ($\frac{\infty}{\infty}$ আকার)। এক্ষেত্রে লব ও হরকে হরের সর্বোচ্চ ঘাতবিশিষ্ট পদ (x এর সর্বোচ্চ power) দ্বারা ভাগ করতে হয়। ফলে প্রতিটি পদ $\frac{c}{x^n}$ আকারে পরিণত হয়, যার মান x → ∞ হলে শূন্যের দিকে ধাবিত হয় (কারণ $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^n} = 0$)। অবশিষ্ট ধ্রুবক পদগুলো থেকেই লিমিটের মান পাওয়া যায়। নিচের উদাহরণটির মাধ্যমে বিষয়টি আরোও সহজবোধ্য হয়ে উঠবে আসা করি।

$\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 5x + 9}{x^2 - 7x + 3}$ এর মান নির্ণয় কর।

এখানে  লব ও হর উভয়কে হরের সর্বোচ্চ ঘাতবিশিষ্ট পদ $x^2$ দ্বারা ভাগ করে এই কৌশল প্রয়োগ করা হয়েছে।

$\begin{aligned} \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 5x + 9}{x^2 - 7x + 3} &= \lim_{x \to \infty} \frac{\dfrac{2x^2}{x^2} + \dfrac{5x}{x^2} + \dfrac{9}{x^2}}{\dfrac{x^2}{x^2} - \dfrac{7x}{x^2} + \dfrac{3}{x^2}} \\ &= \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \dfrac{5}{x} + \dfrac{9}{x^2}}{1 - \dfrac{7}{x} + \dfrac{3}{x^2}} \\ &= \frac{2 + 0 + 0}{1 - 0 + 0} = 2 \end{aligned}$

২-২. লগারিদমের বিয়োগ থাকলে (log নিয়ম প্রয়োগ):

রাশিতে দুটি লগারিদমের বিয়োগ ($\ln A - \ln B$) থাকলে প্রথমে লগের নিয়ম $\ln A - \ln B = \ln\left(\frac{A}{B}\right)$ প্রয়োগ করে একটি মাত্র লগারিদমে পরিণত করতে হয়। এরপর লগের ভেতরের রাশিটির (যা সাধারণত $x \to \infty$ হলে $\frac{\infty}{\infty}$ আকার নেয়) লিমিট আগের কৌশলে (সর্বোচ্চ ঘাত দ্বারা ভাগ) নির্ণয় করতে হয়। যেহেতু $\ln$ একটি সন্তত (continuous) ফাংশন, তাই লিমিট ও ফাংশনের ক্রম পরিবর্তন করা যায়, অর্থাৎ $\lim \ln(f(x)) = \ln(\lim f(x))$।

$\lim_{x \to \infty} \{\ln(2x-1) - \ln(x+5)\}$ এর মান নির্ণয় কর। কুয়েট ২০০৪-০৫

$\begin{aligned} \lim_{x \to \infty} \{\ln(2x-1) - \ln(x+5)\} &= \lim_{x \to \infty} \ln\left(\frac{2x-1}{x+5}\right) \\ &= \ln\left(\lim_{x \to \infty} \frac{2-\frac{1}{x}}{1+\frac{5}{x}}\right) \\ &= \ln\left(\frac{2-0}{1+0}\right) = \ln 2 \end{aligned}$

৩. রাশিতে sin/cos থাকলে (আদর্শ ত্রিকোণমিতিক লিমিট প্রয়োগ):

রাশিতে ত্রিকোণমিতিক ফাংশন (বিশেষত $\sin$) থাকলে এবং কোণটি $x \to \infty$ বা $x \to 0$ এর সাথে সরাসরি শূন্যের দিকে ধাবিত হলে, উপযুক্ত প্রতিস্থাপন করে রাশিটিকে $\frac{\sin\theta}{\theta}$ আকারে সাজিয়ে আদর্শ সূত্র $\lim_{\theta \to 0}\frac{\sin\theta}{\theta}=1$ প্রয়োগ করতে হয়।

$\lim_{x \to \infty} 2^x \sin\left(\frac{b}{2^x}\right)$ এর মান নির্ণয় কর। বুয়েট ২০০৯-১০ সিলেট বোর্ড-২০০৫

মনে করি, $\theta = \frac{b}{2^x}$। যখন $x \to \infty$ তখন $\theta \to 0$, এবং $2^x = \frac{b}{\theta}$।

$\begin{aligned} \lim_{x \to \infty} 2^x \sin\left(\frac{b}{2^x}\right) &= \lim_{\theta \to 0} \frac{b}{\theta} \cdot \sin\theta \\ &= b \cdot \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin\theta}{\theta} = b \cdot 1 = b \end{aligned}$